こんにちは！
私はアメリカ在住3年になります。
根拠のない意見なので、軽く流していただければと思いますが、なんとなく予防接種の記録は母子手帳で十分なのではないかなーという気がします。
もちろん、証明があるに越した事はないですが、母子手帳も正式な記録ですよね。しかも英訳がついているのでしたらそれで十分かと。「医師の証明がないと認めない」というほどアメリカの小児科は厳しくない印象です。むしろ、母子手帳があったら凄く感謝されるんじゃないでしょうか（笑）
ちなみに、アメリカの一般の小児科では、通常、電子カルテが採用されているので、一度記録を入力してもらえば、基本的にはどの病院に移っても、過去の受診・予防接種記録を申告・提示する必要はありません（州をまたいで一度転院しました）。
渡米後も、ご自身の記録として母子手帳は管理されると良いかとは思いますが、受診記録は全て病院側がデータで管理しているので、毎回の検診や受診はとてもラクですよ〜！ニーナさんが仰るように、日系クリニックだと母子手帳がいるのかもしれないですね。
うちの病院では、毎回、検診の最後に、その日のサマリー（成長記録、受けた予防接種など）をプリントアウトしてもらえるので、それをファイリングしています。
話がだいぶ逸れましたが、もし気になるようでしたら、渡航検診の際に、病院のスタッフに聞いてみられてはいかがでしょうか。渡米関係に詳しいので、もしかしたら何かご存知かもしれないです。
参考になる回答でなくすみません💦
