AOSの申請が必要になりますが、申請後は留学ビザが失効してもAOSの結果が出るまでは不法滞在にはならないです。
学校側には、ビザの切り替え申請中であることを伝えれば、ビザが切れてからの通学も可能になると思いますが、相談された方がいいと思います。(大学だとステータス変更の1年後に州民の費用に減額されます)
ちなみにAOS申請は、I-130と同時にできますが、その場合は郵送のみです。
AOS審査中に就労&渡航許可が下りると、グリーンカードが貰えるまでの間も働けるし、国外への旅行も可能になります。AOS(I-485)と一緒に申請書類を提出すれば、就労&渡航許可に関する申請費用は掛かりませんので、お忘れなく。